¿Cómo sobrevivir a la Ruleta Rusa?

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O cómo la probabilidad puede ayudarte a no perder la cabeza…

 

Ruleta Rusa: Revolver con tambor de 6 balas

 

Para aquellos que no sepan en qué se basa la ruleta rusa, es un “juego” que consiste en lo siguiente:

 

La ruleta rusa es un juego de azar potencialmente mortal que consiste en que un jugador coloque una o varias balas dentro de un tambor de revólver, gire el cilindro, coloque el cañón en su sien y presione el gatillo. Se juega generalmente entre dos personas o más personas y utilizando una sola bala, el objetivo es sobrevivir y quedarse con el dinero o la especie de valor a jugar. – Fuente: Wikipedia

 

Así pues, nos encontramos delante de una macabra situación en la que los jugadores se suceden pulsando el gatillo. En este artículo vamos a explorar 3 situaciones distintas. En todas ellas tendremos un revólver con 6 espacios. Las dos primeras son las siguientes, donde vamos a poner una sola bala en el tambor, y se van a diferenciar en función de si los participantes giran el cilindro al inicio de su turno o no:

 

Los jugadores no giran el cilindro entre turnos

Éste es el caso más típico en el cual cuando un participante recibe el arma de un jugador, tiene la certeza de que quedan menos espacios sin bala de los que le quedaban al anterior. Si suponemos que están arriesgando su vida 6 jugadores, cual es la probabilidad de morir del primero? Y del segundo? Y del último? La mayoría de personas escogerían ser el último participante, pero…

La respuesta a esta pregunta es muy sorprendente y desafía a nuestra primera intuición: todos los participantes tienen la misma probabilidad de morir, independientemente del orden en el que se hayan colocado. Y aquí es donde entra el cálculo de probabilidades. Si no te lo crees, mira el argumento que te proponemos.

  • La probabilidad de que sea el primer jugador el que muera es de 1/6. Esto no requiere ningún cálculo, ya que, después de rodar el tambor, solo morirá si ha tocado la bala en la primera posición.
    Probabilidad de morir en la primera ronda: 1/6 
  • La probabilidad de que sea el segundo jugador el que muera es exactamente la probabilidad de que el primer jugador no haya muerto (5/6, todos los casos en los que se salvaba) multiplicada por la probabilidad de que muera el segundo jugador (1/5, ya que uno de los espacios sin bala ya lo ha usado el jugador anterior). 5/6 * 1/5 = 1/6.
    Probabilidad de morir en la segunda ronda: 1/6 
  • La probabilidad de que sea el tercer jugador el que muera es exactamente la probabilidad de que el primer jugador no haya muerto (5/6) multiplicada por la probabilidad de que el segundo jugador no haya muerto (4/5, todos los casos en los que se salvaba), multiplicadas por la probabilidad de que muera el tercer jugador (1/4, ya que los dos jugadores anteriores ya han usado un espacio libre cada uno). 5/6 * 4/5 * 1/4 = 1/6.
    Probabilidad de morir en la tercera ronda: 1/6 
  • La probabilidad de que el último jugador sea el que muera (no confundir con la probabilidad de que si le llega la pistola a él, muera. Esta probabilidad es 1, pero aquí estamos describiendo las probabilidades al principio de la partida), será entonces el siguiente producto: Probabilidad de que el primer jugador no haya muerto * Probabilidad de que el segundo jugador no haya muerto * Probabilidad de que el tercer jugador no haya muerto * Probabilidad de que el cuarto jugador no haya muerto * Probabilidad de que el quinto jugador no haya muerto * Probabilidad de morir: 5/6 * 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 * 1
    Probabilidad de morir en la última ronda: 1/6 

Para concluir, aunque no sea el resultado más intuitivo, nuestra posición en el juego no influye en la probabilidad de morir, así que no importa si somos el primero o el último, ya que es un juego justo.

 

Los jugadores giran el cilindro entre turnos

Vamos a simplificar aquí las explicaciones para hacerlo más directo. Cuando el revolver le llega a un jugador, éste tiene siempre la misma probabilidad de morir (1/6), aunque las probabilidades de que le llegue, son cada vez menores a medida que pasan los turnos, entonces:

  • La probabilidad de que sea el primer jugador el que muera es de 1/6.
    Probabilidad de morir en la primera ronda: 1/6 
  • La probabilidad de que sea el segundo jugador el que muera, es la probabilidad de que el primer jugador no haya muerto (5/6) multiplicada por la probabilidad de morir él (1/6).
    Probabilidad de morir en la segunda ronda: 5/36
  • La probabilidad de que sea el tercer jugador el que muera, es la probabilidad de que el primer jugador no haya muerto (5/6) multiplicada por la probabilidad de que el segundo jugador no muera (5/6), multiplicada por la probabilidad de morir él (1/6)
    Probabilidad de morir en la tercera ronda: 25/216
  • Si generalizamos esta estructura, obtenemos que la probabilidad de morir en la ronda n, sigue la siguiente expresión (^ significa elevado a):
    Probabilidad de morir en la ronda n: 5 ^ (n – 1) / 6 ^ n

Usando los valores obtenidos, podemos hacer afirmaciones del tipo “en más del 50 % de partidas, no pasaremos de la 4 ronda” o “solo llegaríamos a la ronda 13 un 10% de las veces“.

Para concluir, en este segundo juego, la probabilidad de morir en una ronda concreta decrece con el tiempo, así que sí que importa nuestra posición en el juego.

 

Jugar solo, pero con una condición….

En este último caso que proponemos aquí, te toca jugar solo delante de un capo de la mafia, para demostrarle su lealtad. El juego consiste en ponerle dos balas consecutivas en el tambor del revolver, darle vueltas, y dispararte.

Has sido afortunado, y en el primer disparo (click), no has muerto. Pero el capo mafioso, requiere un compromiso excepcional por tu parte, y te pide que te vuelvas a disparar. Pero como no es tan malo como parece, te da dos opciones:

  1. Volverte a disparar directamente, sin hacer nada.
  2. Darle vueltas al tambor, cerrarlo, y dispararte.
¿Qué escogerías?

Aquí la intuición vuelve a jugar en nuestra contra. Parece mucho más lógica la segunda opción, es decir, darle vueltas al tambor, y volver a tener 4/6 opciones de sobrevivir, ¿verdad? Pues las probabilidades dicen lo contrario. Lo explico con un diagrama, donde veremos que lo importante es el hecho que las balas estén colocadas sucesivamente:

 

 

Estamos suponiendo que ya nos hemos disparado una vez y hemos sobrevivido. Esto implica, necesariamente, que en el primer disparo no habíamos caído en ninguno de los dos agujeros rojos (donde hay las balas). Consecuentemente, en el primer disparo, estábamos en los números 1, 2, 3 o 4. Cómo sabemos que el tambor se mueve hacia la derecha, tenemos las siguientes opciones:

  • Habíamos caído en el 1, en el siguiente disparo toca el 2. Nos salvamos.
  • Habíamos caído en el 2, en el siguiente disparo toca el 3. Nos salvamos.
  • Habíamos caído en el 3, en el siguiente disparo toca el 4. Nos salvamos.
  • Habíamos caído en el 4, en el siguiente disparo toca bala. Morimos.

Como todos los eventos tienen la misma probabilidad, nos salvamos con un 3/4 de probabilidades (75% de los casos). Con la segunda opción, donde volvíamos a darle vueltas al tambor, las probabilidades son 4/6 (66,6% de los casos).

Así pues, volvernos a disparar directamente, es mucho más seguro que volver a darle la vuelta al tambor.


Este articulo es la primera entrega de una colección de artículos divulgativos de probabilidad, que podrás encontrar aquí. Espero que te haya gustado.

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